Question

18．在平面直角坐標系中，已知圓O₁：（x+a）²+y²=4，圓O₂：（x-a）²+y²=4，其中常數(shù)a＞2，點P是圓O₁，O₂外一點．
（1）若a=3，P（-1，4），過點P作斜率為k的直線l與圓O₁相交，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）過點P作O₁，O₂的切線，切點分別為M₁，M₂，記△PO₁M₁，△PO₂M₂的面積分別為S₁，S₂，若S₁=$\sqrt{a+1}$•S₂，求點P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）過點P作斜率為k的直線l與圓O₁相交，圓心到直線的距離d=$\frac{|-2k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤2，即可求實數(shù)k的取值范圍；
（2）利用S₁=$\sqrt{a+1}$•S₂，直接求點P的軌跡方程．

解答 解：（1）a=3，圓O₁：（x+3）²+y²=4的圓心坐標為（-3，0），半徑為2，
設直線l的方程為y-4=k（x+1），即kx-y+k+4=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|-2k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤2，∴k≥$\frac{3}{4}$；
（2）設P（x，y），
∵S₁=$\sqrt{a+1}$•S₂，
∴$\frac{1}{2}$|PM₁|×2=$\sqrt{a+1}$•$\frac{1}{2}$|PM₂|×2，
∴|PM₁|=$\sqrt{a+1}$•|PM₂|，
∴|PO₁|²-4=（a+1）•（|PO₂|²-4）
∴（x+a）²+y²-4=（a+1）•[（x-a）²+y²-4]．
即點P的軌跡方程為x²+y²-2（a+2）+a²-4=0．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題