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14.己知x,y都是正數(shù),且x2+2y2=2,則1x+2y的最小值是332214

分析 根據(jù)條件可得到2={x}^{2}+{y}^{2}+{y}^{2}≥3\root{3}{{x}^{2}{y}^{2}{z}^{2}},從而可得出xyz234332,當(dāng)x=y=z時(shí)取等號,而\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}≥3\root{3}{\frac{1}{xyz}},并且當(dāng)x=y=z時(shí)取等號,這樣即可得出1x+2y的范圍,從而得出1x+2y的最小值.

解答 解:x,y>0,∴由x2+2y2=2得,\sqrt{2}={x}^{2}+{y}^{2}+{y}^{2}≥3\root{3}{{x}^{2}{y}^{2}{z}^{2}},當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)取等號;
\root{3}{{x}^{2}{y}^{2}{z}^{2}}≤\frac{\sqrt{2}}{3}
x2y2z223233;
xyz234332;
1xyz332234;
\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}≥3\root{3}{\frac{1}{xyz}}332214,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)取等號;
1x+2y的最小值為332214
故答案為:332214

點(diǎn)評 考查三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式在求最小值中的應(yīng)用,注意等號成立的條件,以及不等式的性質(zhì).

練習(xí)冊系列答案
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