分析 根據(jù)條件可得到√2={x}^{2}+{y}^{2}+{y}^{2}≥3\root{3}{{x}^{2}{y}^{2}{z}^{2}},從而可得出xyz≤234332,當(dāng)x=y=z時(shí)取等號,而\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}≥3\root{3}{\frac{1}{xyz}},并且當(dāng)x=y=z時(shí)取等號,這樣即可得出1x+2y的范圍,從而得出1x+2y的最小值.
解答 解:x,y>0,∴由x2+2y2=√2得,\sqrt{2}={x}^{2}+{y}^{2}+{y}^{2}≥3\root{3}{{x}^{2}{y}^{2}{z}^{2}},當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)取等號;
∴\root{3}{{x}^{2}{y}^{2}{z}^{2}}≤\frac{\sqrt{2}}{3};
∴x2y2z2≤23233;
∴xyz≤234332;
∴1xyz≥332234;
∴\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}≥3\root{3}{\frac{1}{xyz}}≥332214,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)取等號;
∴1x+2y的最小值為332214.
故答案為:332214.
點(diǎn)評 考查三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式在求最小值中的應(yīng)用,注意等號成立的條件,以及不等式的性質(zhì).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | [2,3] | B. | (0,+∞) | C. | (0,2)∪(3,+∞) | D. | (0,2]∪[3,+∞) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | q2 | B. | q2 | C. | √q | D. | \root{n}{q} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 3+2√2 | B. | 4√2 | C. | 6 | D. | 9 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 6 | B. | 7 | C. | 6+\sqrt{2} | D. | 7+\sqrt{2} |
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