Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，4），B（1，0），C（5，0），其對(duì)稱(chēng)軸與x 軸相交于點(diǎn)M．
（1）求拋物線的解析式和對(duì)稱(chēng)軸；
（2）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PAB的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）連結(jié)AC，在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)N，使△NAC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閽佄锞�在x軸上的交點(diǎn)為B（1，0），和C（5，0），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣5），

由拋物線過(guò)A（0，4），

∴a（0﹣1）（0﹣5）=4，

∴a= ，

∴拋物線解析式為y= （x﹣1）（x﹣5），即y= x2﹣ x+4，

對(duì)稱(chēng)軸為直線x= =3

（2）解：存在．如圖所示，連接AC交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，連接BP，AB，

∵B，C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，

AB+AP+PB=AB+AP+PC=AB+AC，

此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)最小，設(shè)直線AC方程為y=mx+n，將A（0，4），B（1，0），

代入可得 ，解得： ，即y=﹣ x+4，

當(dāng)x=3時(shí)，y=﹣ ×3+4= ，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（3， ）

（3）解：存在．設(shè)N（t， t2﹣ t+4）（0＜t＜5），如圖所示，過(guò)N作NF∥OA，分別交x軸和AC于F，G，

過(guò)A作AD⊥FG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接CN，

根據(jù)（2）的AC解析式y(tǒng)=﹣ x+4，可得G（t，﹣ t+4），

∴NG=﹣ t+4﹣（ t2﹣ t+4）=﹣ t2+4t，

∵S△ANC=S△AGN+S△CGN，S△AGN= GN×AD，S△CGN= CF×GN，

∴S△ANC= GN×（AD+FC）= （﹣ t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣ ）2+ ，

∴當(dāng)t= 時(shí)△NAC的面積最大，最大值為 ，

此時(shí) t2﹣ +4= ×（ ）2﹣ × +4=﹣3，

∴此時(shí)N的坐標(biāo)為（ ，﹣3）．

【解析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣5），再利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式．（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得到周長(zhǎng)最短的情況，再根據(jù)已知兩點(diǎn)求得直線解析式，即可求得所求點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）根據(jù)三角形的面積計(jì)算方法可以將三角形切割為兩個(gè)便于計(jì)算的小三角形，再求每個(gè)三角形的底和高，即可表示出三角形的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得面積最大時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．