分析 (I)f′(x)=1x-k(x+1)−kx(x+1)2=(x+1)2−kxx(x+1)2,(x>0).①k≤0時(shí),f′(x)>0,可得單調(diào)性.②k>0時(shí),f′(x)=x2+(2−k)x+1x(x+1)2.△≤0時(shí),解得0<k≤4,f′(x)≥0,可得函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.△>0,解得k>4.由x2+(2-k)x+1=0,取x1=k−2−√k(k−4)2,x2=k−2+√k(k−2)2.0<x1<x2.f′(x)=(x−x1)(x−x2)x(x+1)2.即可得出單調(diào)性.
(II)由(I)可得:k≤4,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.而f(1)=5-k2≥3,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0恒成立,滿足條件.k>4時(shí),函數(shù)f(x)在在(1,x2)上單調(diào)遞減,(x2,+∞)上單調(diào)遞增;1<x2.若f(1)=5-k2≥0,解得k≤10.k>10時(shí)舍去.4<k≤10時(shí),必須f(x2)>0,經(jīng)過驗(yàn)證即可得出.
解答 解:(I)f′(x)=1x-k(x+1)−kx(x+1)2=(x+1)2−kxx(x+1)2,(x>0).
①k≤0時(shí),f′(x)>0,∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
②k>0時(shí),f′(x)=x2+(2−k)x+1x(x+1)2.
△=(2-k)2-4=k(k-4)≤0時(shí),解得0<k≤4,f′(x)≥0,∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
△=k(k-4)>0,k>0時(shí),解得k>4.由x2+(2-k)x+1=0,解得x=(k−2)±√k(k−4)2,
取x1=k−2−√k(k−4)2,x2=k−2+√k(k−4)2.0<x1<x2.
∴f′(x)=(x−x1)(x−x2)x(x+1)2.令f′(x)>0,解得x>x2,0<x<x1,則函數(shù)f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞增;在(x1,x2)上單調(diào)遞減.
綜上可得:k≤4,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
k>4時(shí),函數(shù)f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞增;在(x1,x2)上單調(diào)遞減,其中x1=k−2−√k(k−4)2,x2=k−2+√k(k−4)2,0<x1<x2.
(II)由(I)可得:k≤4,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.而f(1)=5-k2≥3,∴當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0恒成立,滿足條件.
k>4時(shí),函數(shù)f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞增;在(x1,x2)上單調(diào)遞減,其中x1=k−2−√k(k−4)2,x2=k−2+√k(k−4)2,0<x1<x2.
由于x1=k−2−√k(k−4)2<1<x2,若f(1)=5-k2≥0,解得k≤10.
k>10時(shí)舍去.
4<k≤10時(shí),必須f(x2)>0,
由x22+(2-k)x2+1=0,可得kx2=x22+2x2+1,
∴f(x2)=5+lnx2-kx2x2+1=4-x2+lnx2>0,
k=10時(shí),由x22-8x2+1=0,x2>1,解得x2=4+√15.
f(x2)=4-(4+√15)+ln(4+√15)=ln(4+√15)-√15<0,舍去.
同理可得:k=9不滿足條件舍去.
k=8時(shí),由x22-6x2+1=0,x2>1,解得x2=3+2√2.
f(x2)=4-(3+2√2)+ln(3+2√2)≈1-2√2+1.76<0,舍去.
k=7時(shí),由x22-5x2+1=0,x2>1,解得x2=5+√212∈(4.75,4.8).
f(x2)=4-x2+lnx2>0,
綜上可得:當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0恒成立,k的最大值為7.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、函數(shù)的零點(diǎn)、方程與不等式的解法、分類討論方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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A. | 4 | B. | 5 | C. | 6 | D. | 7 |
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A. | 2π | B. | \frac{3π}{2} | C. | \frac{4π}{3} | D. | \frac{7π}{6} |
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A. | f(x)是奇函數(shù),且為減函數(shù) | B. | f(x)是偶函數(shù),且為增函數(shù) | ||
C. | f(x)不是奇函數(shù),也不為減函數(shù) | D. | f(x)不是偶函數(shù),也不為增函數(shù) |
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A. | p∧(?q) | B. | (?p)∧q | C. | (?p)∧(?q) | D. | p∧q |
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A. | \frac{1}{6} | B. | \frac{1}{3} | C. | \frac{1}{2} | D. | \frac{2}{3} |
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