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11.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù),公比是q,且滿足:a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q.
(Ⅰ)求an與bn;
(Ⅱ)設(shè)cn=3bn-λ•2an3(λ∈R),若數(shù)列{cn}是遞增數(shù)列,求λ的取值范圍.

分析 (Ⅰ)由已知條件b2+S2=12,S2=b2q,列關(guān)于等差數(shù)列的第二項及等比數(shù)列的公比的二元方程組,求出等差數(shù)列的第二項及等比數(shù)列的公比,則an與bn可求;
(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的an與bn代入cn=3bn-λ•2an3(λ∈R),整理后把cn+1>cn轉(zhuǎn)化為含有λ和n的表達式,分離參數(shù)后利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最小值,從而求出λ的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)由S2=a1+a2=3+a2,b2=b1q=q,
且b2+S2=12,S2=b2q.
∴q+3+a2=12,3+a2=q2,
消去a2得:q2+q-12=0,解得q=3或q=-4(舍),
∴a2=q2-3=6,則公差d=a2-a1=6-3=3,
從而an=a1+(n-1)d=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1
(Ⅱ)∵an=3n,bn=3n-1,
∴cn=3bn-λ•2an3=3n-λ•2n
∵cn+1>cn對任意的n∈N*恒成立,
即:3n+1-λ•2n+1>3n-λ•2n恒成立,
整理得:λ•2n<2•3n對任意的n∈N*恒成立,
即:λ<2•(32n對任意的n∈N*恒成立.
∵y=2•(32n在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴ymin=3,
∴λ<3.
∴λ的取值范圍為(-∞,3).

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式,考查了利用分離變量法求參數(shù)的范圍問題,借助于函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最小值是解答此題的關(guān)鍵,此題是中檔題.

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