Question

11．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比是q，且滿足：a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=12，S₂=b₂q．
（Ⅰ）求a_n與b_n；
（Ⅱ）設(shè)c_n=3b_n-λ•2${\;}^{\frac{{a}_{n}}{3}}$（λ∈R），若數(shù)列{c_n}是遞增數(shù)列，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件b₂+S₂=12，S₂=b₂q，列關(guān)于等差數(shù)列的第二項(xiàng)及等比數(shù)列的公比的二元方程組，求出等差數(shù)列的第二項(xiàng)及等比數(shù)列的公比，則a_n與b_n可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a_n與b_n代入c_n=3b_n-λ•2${\;}^{\frac{{a}_{n}}{3}}$（λ∈R），整理后把c_n+1＞c_n轉(zhuǎn)化為含有λ和n的表達(dá)式，分離參數(shù)后利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最小值，從而求出λ的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由S₂=a₁+a₂=3+a₂，b₂=b₁q=q，
且b₂+S₂=12，S₂=b₂q．
∴q+3+a₂=12，3+a₂=q²，
消去a₂得：q²+q-12=0，解得q=3或q=-4（舍），
∴a₂=q²-3=6，則公差d=a₂-a₁=6-3=3，
從而a_n=a₁+（n-1）d=3+3（n-1）=3n，b_n=3^n-1；
（Ⅱ）∵a_n=3n，b_n=3^n-1，
∴c_n=3b_n-λ•2${\;}^{\frac{{a}_{n}}{3}}$=3ⁿ-λ•2ⁿ．
∵c_n+1＞c_n對(duì)任意的n∈N^*恒成立，
即：3ⁿ⁺¹-λ•2ⁿ⁺¹＞3ⁿ-λ•2ⁿ恒成立，
整理得：λ•2ⁿ＜2•3ⁿ對(duì)任意的n∈N^*恒成立，
即：λ＜2•（$\frac{3}{2}$）ⁿ對(duì)任意的n∈N^*恒成立．
∵y=2•（$\frac{3}{2}$）ⁿ在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴y_min=3，
∴λ＜3．
∴λ的取值范圍為（-∞，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了利用分離變量法求參數(shù)的范圍問(wèn)題，借助于函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最小值是解答此題的關(guān)鍵，此題是中檔題．