Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點${P_n}（{n，{S_n}}）（{n∈{N^*}}）$是曲線f（x）=x²+2x上的點．?dāng)?shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且滿足b₁=a₁，b₂=a₄．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記${c_n}={（{-1}）^n}{a_n}+{b_n}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得到數(shù)列{a_n}的前n項和，再由n≥2時，a_n=S_n-S_n-1求得數(shù)列通項公式，驗證首項后得答案；再由b₁=a₁，b₂=a₄求出數(shù)列{b_n}的首項和公比，進(jìn)一步得到數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）把數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式代入${c_n}={（{-1}）^n}{a_n}+{b_n}$，利用數(shù)列的分組求和求得數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）由已知，${S}_{n}={n}^{2}+2n$．
當(dāng)n≥2時，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=（{n}^{2}+2n）-[（n-1）^{2}+2（n-1）]$=2n+1．
當(dāng)n=1時，a₁=3適合上式．
∴a_n=2n+1；
由于b₁=a₁=3，b₂=a₄=9，
∴等比數(shù)列{b_n}的公比為3，
∴$_{n}={3}^{n}$；
（2）${c_n}={（{-1}）^n}{a_n}+{b_n}$，
當(dāng)n為偶數(shù)時，T_n=[（-3+5）+（-7+9）+…-（2n-1）+（2n+1）]+（3+3²+…+3ⁿ）
$2×\frac{n}{2}+\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}=\frac{{3}^{n+1}}{2}+n-\frac{3}{2}$；
當(dāng)n為奇數(shù)時，n-1為偶數(shù)，
${T}_{n}={T}_{n-1}+{c}_{n}=[\frac{{3}^{（n-1）+1}}{2}+（n-1）-\frac{3}{2}]+$$（-1）×（2n+1）+{3}^{n}=\frac{{3}^{n+1}}{2}-n-\frac{7}{2}$．
綜上所述，${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{{3}^{n+1}}{2}+n-\frac{3}{2}，n為偶數(shù)}\\{\frac{{3}^{n+1}}{2}-n-\frac{7}{2}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的分組求和，屬中檔題．