Question

3．如圖，六面體ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．
（Ⅰ）求證：AE∥面DBC；
（Ⅱ）若AB⊥BC，BD⊥CD，求證：面ADB⊥面EDC．

Answer 1

分析 （I）過點D作DO⊥BC，O為垂足，則由面面垂直的性質(zhì)得出DO⊥平面ABC，于是AE∥DO，從而得出AE∥面DBC；
（II）由面面垂直的性質(zhì)可得AB⊥平面BCD，故AB⊥CD，結(jié)合BD⊥CD可得CD⊥平面ABD，從而得出面ADB⊥面EDC．

解答 證明：（Ⅰ）過點D作DO⊥BC，O為垂足，
∵面DBC⊥面ABC，面DBC∩面ABC=BC，DO?面DBC，
∴DO⊥面ABC，
又AE⊥面ABC，
∴AE∥DO，
又AE?面DBC，DO?面DBC，
∴AE∥面DBC．
（Ⅱ）∵面DBC⊥面ABC，面DBC∩面ABC=BC，AB⊥BC，
∴AB⊥面DBC，
又DC?面DBC，
∴AB⊥DC，
又BD⊥CD，AB∩BD=B，AB、BD?面ADB，
∴DC⊥面ADB，
又DC?面EDC，
∴面ADB⊥面EDC．

點評 本題考查了面面垂直的性質(zhì)與判定，線面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．