Question

11．圓C₁：x²+y²+2ax+a²-9=0和圓C₂：x²+y²-4by-1+4b²=0只有一條公切線，若a∈R，b∈R，且ab≠0，則$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$的最小值為4．

Answer 1

分析 由題意可得兩圓相內(nèi)切，根據(jù)兩圓的標準方程求出圓心和半徑，可得a²+4b²=4，再利用“1”的代換，使用基本不等式求得$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$的最小值．

解答 解：由題意可得兩圓相內(nèi)切，兩圓的標準方程分別為 （x+a）²+y²=9，x²+（y-2b）²=1，
圓心分別為（-a，0），（0，2b），半徑分別為3和1，故有$\sqrt{{a}^{2}+4^{2}}$=2，∴a²+4b²=4，
∴$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$）（a²+4b²）=$\frac{1}{4}$（8+$\frac{16^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$）≥4，
當且僅當$\frac{16^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$時，等號成立，
∴$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$的最小值為4．
故答案為：4．

點評 本題考查兩圓的位置關(guān)系，兩圓相內(nèi)切的性質(zhì)，圓的標準方程的特征，基本不等式的應用，得到a²+4b²=4是解題的關(guān)鍵和難點．