Question

15．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，f'（x）是f（x）的導函數(shù)．給出如下四個結論：
①若$f'（x）+\frac{f（x）}{x}＞0$，且f（0）=e，則函數(shù)xf（x）有極小值0；
②若xf'（x）+2f（x）＞0，則4f（2ⁿ⁺¹）＜f（2ⁿ），n∈N^*；
③若f'（x）-f（x）＞0，則f（2017）＞ef（2016）；
④若f'（x）+f（x）＞0，且f（0）=1，則不等式f（x）＜e^-x的解集為（0，+∞）．
所有正確結論的序號是①③．

Answer 1

分析 由各個選項中的條件分別構造函數(shù)g（x），由求導公式和法則求出g′（x）后由條件判斷出符號，由導數(shù)與函數(shù)單調性的關系判斷出g（x）的單調性，由條件和函數(shù)的單調性進行判斷即可．

解答 解：①、設g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x），
∵$f′（x）+\frac{f（x）}{x}＞0$，∴$\frac{xf′（x）+f（x）}{x}＞0$，
則函數(shù)g（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）上遞增，
∴函數(shù)g（x）的極小值是g（0）=0，①正確；
②、設g（x）=x²f（x），
則g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）=x[xf'（x）+2f（x）]，
∵xf'（x）+2f（x）＞0，
∴則函數(shù)g（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）上遞增，
∵2ⁿ⁺¹＞2ⁿ＞0，∴g（2ⁿ⁺¹）＞g（2ⁿ），即4f（2ⁿ⁺¹）＞f（2ⁿ），②不正確；
③、設g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{{e}^{x}f′（x）-（{e}^{x}）′f（x）}{{（e}^{x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f'（x）-f（x）＞0，∴g'（x）＞0，即g（x）在R上是增函數(shù)，
∴g（2017）＞g（2016），則$\frac{f（2017）}{{e}^{2017}}＞\frac{f（2016）}{{e}^{2016}}$，
即f（2017）＞ef（2016），③正確；
④、g（x）=e^xf（x），
則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）=e^x[f（x）+f′（x）]，
∵對任意x∈R滿足f（x）+f′（x）＞0，e^x＞0，
∴對任意x∈R滿足g′（x）＞0，則函數(shù)g（x）在R上是增函數(shù)，
∵f（0）=1，且f（x）＜e^-x的化為g（x）＜1=g（0），即x＜1，
則不等式的解集是（-∞，1），④不正確；
故答案為：①③．

點評 本題考查導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，函數(shù)單調性的應用，以及構造法的應用，考查化簡、變形能力．