Question

7．某景區(qū)客棧的工作人員為了控制經(jīng)營成本，減少浪費(fèi)，合理安排入住游客的用餐，他們通過統(tǒng)計每個月入住的游客人數(shù)，發(fā)現(xiàn)每年各個月份來客棧入住的游客人數(shù)會發(fā)生周期性的變化，并且有以下規(guī)律：
①每年相同的月份，入住客棧的游客人數(shù)基本相同；
②入住客棧的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，相差約400人；
③2月份入住客棧的游客約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多．
（1）若入住客棧的游客人數(shù)y與月份x之間的關(guān)系可用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π）近似描述，求該函數(shù)解析式．
（2）請問哪幾個月份要準(zhǔn)備不少于400人的用餐？

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{-A+b=100}\\{A+b=500}\end{array}\right.$，解得A，b．又$\frac{2π}{ω}$=2×（8-2），解得ω．可得y=f（x）=200sin$（\frac{π}{6}x+φ）$+300．又sin$（\frac{π}{6}×2+φ）$=-1，又0＜|φ|＜π，解得φ，即可得出．
（2）由200sin$（\frac{π}{6}x-\frac{5π}{6}）$+300≥400，化簡利用正弦函數(shù)的單調(diào)性值域即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{-A+b=100}\\{A+b=500}\end{array}\right.$，解得A=200，b=300．
又$\frac{2π}{ω}$=2×（8-2），解得ω=$\frac{π}{6}$．
∴y=f（x）=200sin$（\frac{π}{6}x+φ）$+300．
又sin$（\frac{π}{6}×2+φ）$=-1，又0＜|φ|＜π，
解得φ=$-\frac{5π}{6}$．
∴y=f（x）=200sin$（\frac{π}{6}x-\frac{5π}{6}）$+300．
（2）由200sin$（\frac{π}{6}x-\frac{5π}{6}）$+300≥400，
化為：sin$（\frac{π}{6}x-\frac{5π}{6}）$$≥\frac{1}{2}$，（x∈N^*，1≤x≤12）
解得x=6，7，8，9，10．
因此應(yīng)該在6，7，8，9，10月份要準(zhǔn)備不少于400人的用餐．

點(diǎn)評 本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．