Question

8．設(shè)a₁，a₂，a₃均為正數(shù)，且a₁+a₂+a₃=1，求證：$\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+$\frac{1}{a_3}$≥9．

Answer 1

分析 由a₁，a₂，a₃均為正數(shù)，且a₁+a₂+a₃=1，運用乘1法和三元均值不等式，以及不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 證明：因為a₁，a₂，a₃均為正數(shù)，且a₁+a₂+a₃=1，
所以$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}$=$（{a_1}+{a_2}+{a_3}）（{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}}）$
$≥3{（{{a_1}{a_2}{a_3}}）^{\frac{1}{3}}}•3{（{\frac{1}{a_1}\frac{1}{a_2}\frac{1}{a_3}}）^{\frac{1}{3}}}=9$，
（當(dāng)且僅當(dāng)${a_1}={a_2}={a_3}=\frac{1}{3}$時等號成立）
所以$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}≥9$．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用三元均值不等式和不等式的性質(zhì)，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．