Question

4．$f（x）=1o{g_{\frac{1}{2}}}（sinxcosx+{cos^2}x）$的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{8}$]（k∈Z）．

Answer 1

分析 令t=sinxcosx+cos²x，則y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}t$單調(diào)遞減，求出內(nèi)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即可得出結(jié)論．

解答 解：令t=sinxcosx+cos²x，則y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}t$單調(diào)遞減，
t=sinxcosx+cos²x=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）＞0，
令2kπ-$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$
解得kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{8}$]（k∈Z），
∴$f（x）=1o{g_{\frac{1}{2}}}（sinxcosx+{cos^2}x）$的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{8}$]（k∈Z），
故答案為[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{8}$]（k∈Z）．

點評 本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，復合函數(shù)單調(diào)性的求法，化簡函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．