Question

3．如圖，某公園摩天輪的半徑為40m，點(diǎn)O距地面的高度為50m，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每3min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上的點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處．
（Ⅰ）已知在時(shí)刻t（min）時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度f（t）=Asin（ωt+φ）+h，求2018min時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度；
（Ⅱ）當(dāng)離地面50+20$\sqrt{3}$m以上時(shí)，可以看到公園的全貌，求轉(zhuǎn)一圈中有多少時(shí)間可以看到公園全貌？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意求出A、h和ω的值，結(jié)合f（0）=10求得φ的值，
寫出函數(shù)f（x）的解析式，計(jì)算t=2018時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度即可；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)f（t），由f（t）＞50+20$\sqrt{3}$求出t的取值范圍，
再由t的區(qū)間端點(diǎn)值的差求得一圈中可以看到公園全貌的時(shí)間．

解答 解：（Ⅰ）依題意，A=40，h=50，T=3，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{3}$；
又f（0）=10，
∴φ=-$\frac{π}{2}$；
∴f（t）=40sin（$\frac{2π}{3}$t-$\frac{π}{2}$）+50（t≥0）；
∴f（2018）=40sin（$\frac{2π}{3}$×2018-$\frac{π}{2}$）+50=40sin$\frac{5π}{6}$+50=70，
即第2018min時(shí)點(diǎn)P所在位置的高度為70m；
（Ⅱ）由（1）知，f（t）=40sin（$\frac{2π}{3}$t-$\frac{π}{2}$）+50=50-40cos（$\frac{2π}{3}$t）（t≥0）；
依題意：f（t）＞50+20$\sqrt{3}$，
∴-40cos（$\frac{2π}{3}$t）＞20$\sqrt{3}$，
∴cos（$\frac{2π}{3}$t）＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得2kπ+$\frac{5π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$t＜2kπ+$\frac{7π}{6}$，k∈N，
即3k+$\frac{5}{4}$＜t＜3k+$\frac{7}{4}$，k∈N；
∵（3k+$\frac{7}{4}$）-（3k+$\frac{5}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
∴轉(zhuǎn)一圈中有0.5min時(shí)間可以看到公園全貌．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)解析式的求法與三角不等式的解法問題，是綜合題．