Question

8．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）短軸的兩個頂點與右焦點的連線構成等邊三角形，橢圓C上任意一點到橢圓左右兩個焦點的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）橢圓C與X軸負半軸交于點A，直線過定點（-1，0）交橢圓于M，N兩點，求△AMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意a=2b，根據(jù)橢圓C上任意一點到橢圓左右兩個焦點的距離之和為4，利用橢圓的定義求出a，可得b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線MN：x=my-1，聯(lián)立橢圓方程，消去x，運用韋達定理，再由△AMN面積為S=$\frac{1}{2}$|AD|•|y₁-y₂|，代入化簡整理，再由對勾函數(shù)的性質(zhì)，即可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意a=2b，…（2分）
又2a=4，所以a=2，b=1…（4分）
橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（5分）
（Ⅱ）A點坐標為（-2，0），直線MN過定點（-1，0），
∴令直線MN的方程為x=my-1，…（6分）
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，消去x得（m²+4）y²-2my-3=0，…（8分）
∴${y_1}+{y_2}=\frac{2m}{{{m^2}+4}}$，${y_1}{y_2}=\frac{-3}{{{m^2}+4}}$，…（9分）
${S_{△AMN}}=\frac{1}{2}|{AD}||{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$…（11分）
=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{4{m^2}}}{{{{（{m^2}+4）}^2}}}+\frac{12}{{{m^2}+4}}}$=$2\sqrt{\frac{{{m^2}+3}}{{{{（{m^2}+4）}^2}}}}$，…（12分）
令t=m²+3，t≥3，
∴${S_{△AMN}}=2\sqrt{\frac{t}{{{{（t+1）}^2}}}}=2\sqrt{\frac{1}{{t+\frac{1}{t}+2}}}≤2\sqrt{\frac{1}{{3+\frac{1}{3}+2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（14分）
當且僅當t=m²+3=3即m=0時，△AMN面積的最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（15分）

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運用韋達定理，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．