Question

14．已知函數(shù)$f（x）={log_a}\frac{x-2}{x+2}$的定義域為[m，n]，值域為[log_aa（n-1），log_aa（m-1）]，且f（x）在[m，n]上為減函數(shù)．（常數(shù)a＞0，且a≠1）
（1）求證m＞2
（2）求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知中f（x）在[m，n]上為減函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及對數(shù)式中底數(shù)及真數(shù)的限制條件，可得m＞2，
（2）關(guān)于x的方程log_a $\frac{x-2}{x+2}$=log_aa（x-1）在（2，+∞）內(nèi)有二不等實根m、n，令Φ（x）=ax²+（a-1）x+2（1-a），我們易得Φ（2）•Φ（4）＜0，進而根據(jù)零點存在定理，得到答案即可．

解答 解：（1）按題意，得log_a $\frac{m-2}{m+2}$=f（x）_max=log_aa（m-1）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m-2}{m+2}＞0}\\{m-1＞0}\end{array}\right.$，即　m＞2．                                      
（2）由題意，log_a $\frac{n-2}{n+2}$=f_min（x）=log_aa（n-1）
∴關(guān)于x的方程log_a $\frac{x-2}{x+2}$=log_aa（x-1），
在（2，+∞）內(nèi)有二不等實根x=m、n，
?關(guān)于x的二次方程ax²+（a-1）x+2（1-a）=0在（2，+∞）內(nèi)有二異根m、n，
?$\left\{\begin{array}{l}{a＞0且a≠1}\\{△{=（a-1）}^{2}+8a（a-1）＞0}\\{-\frac{a-1}{2a}＞2}\\{4a+2（a-1）+2（1-a）＞0}\end{array}\right.$?0＜a＜$\frac{1}{9}$．　　
故0＜a＜$\frac{1}{9}$．

點評 本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最大值求出m的范圍；（2）的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程log_a$\frac{x-2}{x+2}$=log_aa（x-1）在（2，+∞）內(nèi)有二不等實根m、n，并由此構(gòu)造關(guān)于a的不等式組．