Question

5．已知函數(shù)f（x）=cos⁴x+2sinxcosx-sin⁴x
（1）求函數(shù)f（x）奇偶性、最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間
（2）當(dāng)$x∈[{0\;，\;\;\frac{π}{2}}]$時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式化簡為f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），從而求出函數(shù)的最小正周期；判定奇偶性、結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性解不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
（2）先根據(jù)x的范圍確定2x+$\frac{π}{4}$的范圍，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出最值．

解答 解：（1）f（x）=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）=cos2x+sin2x=）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；∵f（-x）≠f（x）≠-f（x），f（x）是非奇非偶函數(shù)；
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ$\frac{π}{2}$，k∈Z得-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x$≤kπ+\frac{π}{8}$，k∈Z
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-$\frac{3π}{8}$+kπ，kπ+$\frac{π}{8}$]（k∈Z）；
（2）當(dāng)$x∈[{0\;，\;\;\frac{π}{2}}]$時，2x+$\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$，
結(jié)合正弦函數(shù)圖象可得，sin（2x+$\frac{π}{4}$）$∈[-\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$，
∴函數(shù)f（x）的最大值和最小值分別為$\sqrt{2}$，-1．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，函數(shù)的周期性、奇偶性，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于中檔題．