Question

6．已知函數(shù)$f（x）={log_a}（{x^2}-1）（a＞0\;，\;\;且a≠1）$
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）判斷并證明y=f（x）的奇偶性；
（3）令$g（x）=f（\sqrt{x}）$，求滿足不等式g（2a）＞g（a+3）的a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，求出函數(shù)的定義域即可；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義證明即可；
（3）求出g（x）的解析式，通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）由x²-1＞0，解得：x＞1或x＜-1，
故函數(shù)f（x）的定義域是（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）由（1）f（x）的定義域關(guān)于（0，0）對(duì)稱(chēng)，
且f（-x）=log_a（x²-1）=f（x），
故f（x）是偶函數(shù)；
（3）g（x）=log_a（x-1），顯然x＞1，
若g（2a）＞g（a+3），
則$\left\{\begin{array}{l}{2a＞1}\\{a+3＞1}\\{2a＞a+3}\\{a＞1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2a＞1}\\{a+3＞1}\\{2a＜a+3}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，
解得：a＞3或$\frac{1}{2}$＜a＜1，
故a的范圍是（$\frac{1}{2}$，1）∪（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，是一道中檔題．