Question

5．已知正四棱臺(tái)（由正四棱錐截得的棱臺(tái)叫做正四棱臺(tái)）上底面邊長(zhǎng)為6，高和下底面邊長(zhǎng)都是12，求它的側(cè)面積和體積．

Answer 1

分析 設(shè)E，E₁分別是BC，B₁C₁的中點(diǎn)，O，O₁分別是下、上底面正方形的中心，則O₁O是正四棱臺(tái)的高，且O₁O=12，連結(jié)OE，O₁E₁，則OE=6，O₁E₁=3，過(guò)E₁作E₁H⊥OE，垂足為H，則E₁H=O₁O=12，OH=O₁E₁=3，HE=3，${E}_{1}E=3\sqrt{17}$，由此能求出該正四棱臺(tái)的側(cè)面積、體積．

解答 解：如圖，E，E₁分別是BC，B₁C₁的中點(diǎn)，O，O₁分別是下、上底面正方形的中心，
則O₁O是正四棱臺(tái)的高，則O₁O=12，
連結(jié)OE，O₁E₁，則OE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×12$=6，O₁E₁=$\frac{1}{2}$A₁B₁=3，
過(guò)E₁作E₁H⊥OE，垂足為H，
則E₁H=O₁O=12，OH=O₁E₁=3，HE=OE-O₁E₁=6-3=3，
在Rt△E₁HE中，E₁E²=E₁H²+HE²=12²+3²=3²×4²+3²=3²×17，
∴${E}_{1}E=3\sqrt{17}$，
∴該正四棱臺(tái)的側(cè)面積為
${S}_{側(cè)}=4×\frac{1}{2}×（{B}_{1}{C}_{1}+BC）×{E}_{1}E$=$2×（12+6）×3\sqrt{17}=108\sqrt{17}$．
S_上=6²=36，S_下=12²=144，h=12，
∴該正四棱臺(tái)的體積為：
V=$\frac{h}{3}（{S}_{上}+{S}_{下}+\sqrt{{S}_{上}{S}_{下}}）$=$\frac{12}{3}（36+144+\sqrt{36×144}）$=1008．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正四棱臺(tái)的側(cè)面積和體積的求法，考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系及體積計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)；考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力及運(yùn)算求解能力；考查了化歸與轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．