Question

14．已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$，則a₁₀的值為（　�。�

• A． 5
• B． $\frac{1}{5}$
• C． $\frac{11}{2}$
• D． $\frac{2}{11}$

Answer 1

分析 利用數(shù)列的遞推公式推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}的前四項，從而猜想a_n=$\frac{2}{n+1}$．并利用利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明得到${a}_{n}=\frac{2}{n+1}$，由此能求出a₁₀．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}，a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}$，
∴${a}_{2}=\frac{2×1}{1+3}$=$\frac{2}{3}$，
${a}_{3}=\frac{2×\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}+2}$=$\frac{2}{4}$，
${a}_{4}=\frac{2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+2}$=$\frac{2}{5}$，
由此猜想a_n=$\frac{2}{n+1}$．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：
①${a}_{1}=\frac{2}{1+1}=1$，成立；
②假設(shè)a_k=$\frac{2}{k+1}$，
則${a}_{k+1}=\frac{2{a}_{k}}{{a}_{k}+2}$=$\frac{\frac{4}{k+1}}{\frac{2}{k+1}+2}$=$\frac{2}{（k+1）+1}$，成立，
∴${a}_{n}=\frac{2}{n+1}$，
∴a₁₀=$\frac{2}{11}$．
故選：D．

點評 本題考查數(shù)列的第10項的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意遞推公式、數(shù)學(xué)歸納法的合理運用．