Question

6．在平面直角坐標系xoy中，曲線C₁過點P（a，1），其參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=a+\sqrt{2}t\;\;\;}\\{y=1+\sqrt{2}t\;\;\;\;\;}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)，a∈R）．以O(shè)為極點，x軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρcos²θ+4cosθ-ρ=0．
（Ⅰ）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知曲線C₁與曲線C₂交于A、B兩點，且|PA|=2|PB|，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）根據(jù)參數(shù)方程的幾何意義可知|PA|=2|t₁|，|PB|=2|t₂|，利用|PA|=2|PB|，分類討論，求實數(shù)a的值．

解答 解：（Ⅰ）曲線C₁參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=a+\sqrt{2}t\;\;\;}\\{y=1+\sqrt{2}t\;\;\;\;\;}\end{array}}\right.$，∴其普通方程x-y-a+1=0，-------（2分）
由曲線C₂的極坐標方程為ρcos²θ+4cosθ-ρ=0，∴ρ²cos²θ+4ρcosθ-ρ²=0
∴x²+4x-x²-y²=0，即曲線C₂的直角坐標方程y²=4x．-------（5分）
（Ⅱ）設(shè)A、B兩點所對應參數(shù)分別為t₁，t₂，聯(lián)解$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ x=a+\sqrt{2}t\\ y=1+\sqrt{2}t\end{array}\right.$得$2{t^2}-2\sqrt{2}t+1-4a=0$
要有兩個不同的交點，則$△={（2\sqrt{2}）^2}-4×2（1-4a）＞0$，即a＞0，由韋達定理有$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=\sqrt{2}\;\\{t_1}•{t_2}=\frac{1-4a}{2}\end{array}\right.$
根據(jù)參數(shù)方程的幾何意義可知|PA|=2|t₁|，|PB|=2|t₂|，
又由|PA|=2|PB|可得2|t₁|=2×2|t₂|，即t₁=2t₂或t₁=-2t₂-------（7分）
∴當t₁=2t₂時，有t₁+t₂=3t₂=$\sqrt{2}$，t₁t₂=2t₂²=$\frac{1-4a}{2}$，∴a=$\frac{1}{36}$＞0，符合題意．-------（8分）
當t₁=-2t₂時，有t₁+t₂=-t₂=$\sqrt{2}$，t₁t₂=-2t₂²=$\frac{1-4a}{2}$，∴a=$\frac{9}{4}$＞0，符合題意．-------（9分）
綜上所述，實數(shù)a的值為$a=\frac{1}{36}$或$\frac{9}{4}$．-------（10分）

點評 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運用，考查參數(shù)的幾何意義，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．