Question

【題目】已知右焦點(diǎn)為F2（c，0）的橢圓C： + =1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（1， ），且橢圓C關(guān)于直線(xiàn)x=c對(duì)稱(chēng)的圖形過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（ ，0）作直線(xiàn)l與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，線(xiàn)段EF的中點(diǎn)為M，點(diǎn)A是橢圓C的右頂點(diǎn)，求直線(xiàn)MA的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵橢圓C過(guò)點(diǎn)（1， ），∴ + =1，①

∵橢圓C關(guān)于直線(xiàn)x=c對(duì)稱(chēng)的圖形過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，∴a=2c，

∴ ，②

由①②得a=2，b= ，

∴橢圓C的方程為

（2）

解：依題意，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（ ，0）且斜率不為零，故可設(shè)其方程為x=my+

聯(lián)立方程組消去x，并整理得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0

設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），M（x0，y0），則

∴y1+y2=﹣ ，

∴y0=﹣ ，x0= ，

∴k= ，

①當(dāng)m=0時(shí)，k=0；

②當(dāng)m≠0時(shí)，k= ，

∵|4m+ |=4|m|+ ≥8，∴0＜|k|≤ ，∴﹣ ≤k≤ 且k≠0．

綜合①②可知直線(xiàn)MA的斜率k的取值范圍是：﹣ ≤k≤ ．

【解析】（1）由橢圓C： + =1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（1， ），且橢圓C關(guān)于直線(xiàn)x=c對(duì)稱(chēng)的圖形過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求出a，b，c，橢圓方程可求；（2）線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（ ，0）且斜率不為零，故可設(shè)其方程為x=my+ ，和橢圓方程聯(lián)立，把MA的斜率用直線(xiàn)l的斜率表示，由基本不等式求得范圍．