Question

5．已知函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1）．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，過原點(diǎn)分別作曲線 y=f（x）與y=e^x的切線l₁，l₂，若兩切線的斜率互為倒數(shù)，求證：1＜a＜2．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求解函數(shù)f（x）的極值；
（2）設(shè)切線l₂的方程為y=k₂x，從而由導(dǎo)數(shù)及斜率公式可求得切點(diǎn)為（1，e），k₂=e；再設(shè)l₁的方程，整理得$ln{x_1}-1+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}=0$，再令$m（x）=lnx-1+\frac{1}{x}-\frac{1}{e}$，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而問題得證．

解答 （1）解：$f'（x）=\frac{1}{x}-a$
①若a≤0時(shí)，$f'（x）=\frac{1}{x}-a$＞0
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，故無極大值和極小值
②若a＞0，由$f'（x）=\frac{1}{x}-a=0$得$x=\frac{1}{a}$，
所以$x∈（0，\frac{1}{a}）$．函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，$x∈（\frac{1}{a}，+∞）$，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減
故函數(shù)f（x）有極大值a-lna-1，無極小值．
（2）證明：設(shè)切線l₂的方程為y=k₂x，切點(diǎn)為（x₂，y₂），
則${y_2}={e^{x_2}}$，${k_2}={e^{x_2}}=\frac{y_2}{x_2}$，所以x₂=1，y₂=e，則${k_2}={e^{x_2}}=e$．
由題意知，切線l₁的斜率為${k_1}=\frac{1}{k_2}=\frac{1}{e}$，l₁的方程為$y={k_1}x=\frac{1}{e}x$．
設(shè)l₁與曲線y=f（x）的切點(diǎn)為（x₁，y₁），則${k_1}=f'（{x_1}）=\frac{1}{x_1}-a$=$\frac{1}{e}=\frac{y_1}{x_1}$，
所以${y_1}=\frac{x_1}{e}=1-a{x_1}$，$a=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}$．
又因?yàn)閥₁=lnx₁-a（x₁-1），消去y₁和a后，整理得$ln{x_1}-1+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}=0$
令$m（x）=lnx-1+\frac{1}{x}-\frac{1}{e}$，則$m'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，
所以m（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
又x₀為m（x）的一個(gè)零點(diǎn)，所以
①若x₁∈（0，1），因?yàn)?m（\frac{1}{e}）=-2+e-\frac{1}{e}＞0$，$m（1）=-\frac{1}{e}＜0$，所以${x_1}∈（\frac{1}{e}，1）$，
因?yàn)?ln{x_1}-1+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}=0$
所以$a=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}$=1-lnx₁，所以1＜a＜2．
②若x₁∈（1，+∞），因?yàn)閙（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，且m（e）=0，則x₁=e，
所以a=1-lnx₁=0（舍去）．
綜上可知，1＜a＜2．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線問題，主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究曲線的切線及結(jié)合方程有解零點(diǎn)存在定理的應(yīng)該用求參數(shù)的問題，得到不等式的證明；屬于難題．