Question

13．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是正三角形，E是棱BB₁的中點．
（Ⅰ）求證平面AEC₁⊥平面AA₁C₁C；
（Ⅱ）若AA₁=AB，求二面角C-AE-C₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別取AC，AC₁的中點O，F(xiàn)，推導(dǎo)出四邊形OBEF是平行四邊形，從而OB∥EF．推導(dǎo)出OB⊥面ACC₁A₁，從而EF⊥平面ACC₁A₁，由此能證明平面AEC₁⊥平面AA₁C₁C．
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C-AE-C₁的平面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）分別取AC，AC₁的中點O，F(xiàn)，
連結(jié)OB，OF，EF，則OF$\underset{∥}{=}$BE，
∴四邊形OBEF是平行四邊形，∴OB∥EF．
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，ABC是正三角形，O是AC的中點，
∴OB⊥面ACC₁A₁，∴EF⊥平面ACC₁A₁，
∴平面AEC₁⊥平面AA₁C₁C．
（Ⅱ）建立如圖O-xyz空間直角坐標系，設(shè)AA₁=AB=2，
則$A（{0，-1，0}），C（{0，1，0}），E（{\sqrt{3}，0，1}）$，
${C_1}（{0，1，2}），\overrightarrow{AC}=（{0，2，0}），\overrightarrow{A{C_1}}=（{0，2，2}），\overrightarrow{AE}=（{\sqrt{3}，1，1}）$，
設(shè)平面AEC的法向量為$\overrightarrow{n_1}=（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）$，
平面AEC₁的法向量為$\overrightarrow{n_2}=（{{x_2}，{y_2}，{z_2}}）$，
則有$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AC}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AE}=0\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{A{C_1}}=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{AE}=0\end{array}\right.$，
得$\overrightarrow{n_1}=（{1，0，-\sqrt{3}}）$，$\overrightarrow{n_2}=（{0，1，-1}）$
設(shè)二面角C-AE-C₁的平面角為θ，
則$cosθ=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．
∴二面角C-AE-C₁的平面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、方程與函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．