Question

3．已知函數(shù)f（x）=e^x[x²-（a+2）x+b]，曲線(xiàn)y=f（x）在x=0處的切線(xiàn)方程為2a²x+y-b=0，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）確定a，b的關(guān)系式（用a表示b）；
（Ⅱ）對(duì)于任意負(fù)數(shù)a，總存在x＞0，使f（x）＜M成立，求實(shí)數(shù)M的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用曲線(xiàn)y=f（x）在x=0處的切線(xiàn)方程為2a²x+y-b=0確定a，b的關(guān)系式（用a表示b）；
（Ⅱ）對(duì)于任意負(fù)數(shù)a，總存在x＞0，使f（x）＜M成立，即對(duì)于任意負(fù)數(shù)a，x＞0，使f（x）_min＜M成立，即可求實(shí)數(shù)M的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x[x²-（a+2）x+b]，
∴f′（x）=e^x[x²-ax+b-（a+2）]，
∴f′（0）=-2a²，∴b=a+2-2a²；
（Ⅱ）對(duì)于任意負(fù)數(shù)a，總存在x＞0，使f（x）＜M成立，
即對(duì)于任意負(fù)數(shù)a，x＞0，使f（x）_min＜M成立，
由（Ⅰ）可知f′（x）=e^x（x-2a）（x+a），
令f′（x）=0，可得x=2a，或x=-a．
a＜0，0＜x＜-a，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，x＞-a，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴x＞0，f（x）_min=f（-a）=e^-a（3a+2），
令g（a）=e^-a（3a+2），則g′（a）=e^-a（1-3a）＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，即g（a）＜g（0）=2，
∴M≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的切線(xiàn)方程的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．