Question

17．某商場(chǎng)在一部向下運(yùn)行的手扶電梯終點(diǎn)的正上方豎直懸掛一幅廣告畫(huà)．如圖，該電梯的高AB為4米，它所占水平地面的長(zhǎng)AC為8米．該廣告畫(huà)最高點(diǎn)E到地面的距離為10.5米．最低點(diǎn)D到地面的距離6.5米．假設(shè)某人的眼睛到腳底的距離MN為1.5米，他豎直站在此電梯上觀(guān)看DE的視角為θ．
（1）設(shè)此人到直線(xiàn)EC的距離為x米，試用x表示點(diǎn)M到地面的距離；
（2）此人到直線(xiàn)EC的距離為多少米，視角θ最大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形得出NH，從而得出MH；
（2）計(jì)算DG，EG，得出tan∠DMG和tan∠EMG，利用差角公式計(jì)算tanθ，得出tanθ關(guān)于x的解析式，利用不等式求出tanθ取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x即可．

解答 解：（1）由題意可知MG=CH=x，
由△CHN∽△CAB可得$\frac{NH}{AB}=\frac{CH}{AC}$，即$\frac{NH}{4}=\frac{x}{8}$，
∴NH=$\frac{x}{2}$，
∴M到地面的距離MH=MN+NH=$\frac{x+3}{2}$．
（2）DG=CD-CG=CD-MH=$\frac{5-x}{2}$，
同理EG=9-$\frac{x}{2}$，
∴tan∠DMG=$\frac{GD}{MG}$=$\frac{\frac{5-x}{2}}{x}$=$\frac{5-x}{2x}$，tan∠EMG=$\frac{EG}{MG}=\frac{9-\frac{x}{2}}{x}$=$\frac{18-x}{2x}$，
∴tanθ=tan（∠EMG-∠DMG）=$\frac{\frac{18-x}{2x}-\frac{5-x}{2x}}{1+\frac{18-x}{2x}•\frac{5-x}{2x}}$=$\frac{26x}{5{x}^{2}-23x+90}$=$\frac{26}{5x+\frac{90}{x}-23}$，
∵0＜x≤8，∴5x+$\frac{90}{x}$≥2$\sqrt{5x•\frac{90}{x}}$=30$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)5x=$\frac{90}{x}$即x=3$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)，
∴當(dāng)x=3$\sqrt{2}$時(shí)，tanθ取得最大值，即θ取得最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題．