Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)f（x）取得極值-2．求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極大值．

Answer 1

分析 由條件f（1）=2，f′（1）=0求得a、b，再利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，從而求解．

解答 解．由奇函數(shù)定義，有f（-x）=-f（x），x∈R．即-ax³-cx+d=-ax³-cx-d，∴d=0因此，f（x）=ax³+cx，
 f′（x）=3ax²+c
由條件f（1）=2為f（x）的極值，必有f′（1）=0
故  $\left\{\begin{array}{l}{a+c=-2}\\{3a+c=0}\end{array}\right.$，解得 a=1，c=-3
因此f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）
當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在單調(diào)區(qū)間（-∞，-1）上是增函數(shù)．
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在單調(diào)區(qū)間（-1，1）上是減函數(shù)．
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在單調(diào)區(qū)間∈（1，+∞）上是增函數(shù)．
所以，f（x）的極大值為f（-1）=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最值，屬于中檔題