Question

1．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=3，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，則$\frac{|\overrightarrow{a}|}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$的取值范圍為[$\frac{2}{5}$，2]．

Answer 1

分析 根據(jù)模長公式，把|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=3，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2兩邊平方，求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的值，
再根據(jù)絕對值不等式求出|$\overrightarrow{a}$|的取值范圍，即可求出$\frac{|\overrightarrow{a}|}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$的取值范圍．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=3，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，
∴${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}$-${（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}^{2}$=4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=3²-2²=5，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{5}{4}$；
又|2$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|∈[3-2，3+2]=[1，5]，
∴|$\overrightarrow{a}$|∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]，
∴$\frac{|\overrightarrow{a}|}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\frac{4}{5}$|$\overrightarrow{a}$|∈[$\frac{2}{5}$，2]；
即$\frac{|\overrightarrow{a}|}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$的取值范圍是[$\frac{2}{5}$，2]．
故答案為：[$\frac{2}{5}$，2]．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．