Question

13．給出下列結(jié)論：
動(dòng)點(diǎn)M（x，y）分別到兩定點(diǎn)（-4，0），（4，0）連線的斜率之乘積為-$\frac{9}{16}$，設(shè)M（x，y）的軌跡為曲線C，F(xiàn)₁、F₂分別為曲線C的左右焦點(diǎn)，則下列命題中：
（1）曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0）；
（2）曲線C上存在一點(diǎn)M，使得S△_F1MF2=9；
（3）P為曲線C上一點(diǎn)，P，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF₁|＞|PF₂|，$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$的值為$\frac{23}{9}$；
（4）設(shè)A（1，1），動(dòng)點(diǎn)P在曲線C上，則|PA|+|PF₁|的最大值為8+$\sqrt{9-2\sqrt{7}}$；
其中正確命題的序號(hào)是③④．

Answer 1

分析 設(shè)M（x，y），由題意可得k_MA•k_MB=-$\frac{9}{16}$，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡即可得到點(diǎn)P的軌跡為曲線C是以F₁（-$\sqrt{7}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{7}$，0）為焦點(diǎn)的橢圓，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可逐一判定．

解答 解：設(shè)M（x，y），則k_MA•k_MB=$\frac{y}{x+4}•\frac{y}{x-4}=-\frac{9}{16}$，化簡得$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1\\;（x≠±4）$
曲線C是以F₁（-$\sqrt{7}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{7}$，0）為焦點(diǎn)的橢圓，
對(duì)于（1），曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0）錯(cuò)；
對(duì)于（2），因?yàn)閎²=9，要使S△_F1MF2=9，必須要存在點(diǎn)M，使∠F₁MF₂=90⁰
∵c=$\sqrt{7}＜b$=3，∴不存在M，使得S△_F1MF2=9，故錯(cuò)；
對(duì)于（3），由（2）得，P為曲線C上一點(diǎn)，P，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，
且|PF₁|＞|PF₂|，則必有PF₁⊥F₁F₂
|PF₁|=$\frac{^{2}}{a}=\frac{9}{4}$，|PF₂|=2a-|PF₁|=$\frac{23}{4}$，∴$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$的值為$\frac{23}{9}$，正確；
對(duì)于（4），則|PA|+|PF₁|=2a+|PA|-|PF₂|≤2a+|PA|=8+$\sqrt{9-2\sqrt{7}}$，故正確；
故答案為：③④

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的方程及性質(zhì)，結(jié)合平面幾何的知識(shí)是關(guān)鍵，屬于難題．