Question

已知⊙O′過(guò)定點(diǎn)A(0，p)(p＞0)，圓心O′在拋物線C：x2＝2py(p＞0)上運(yùn)動(dòng)，MN為圓O′在x軸上所截得的弦．

(1)當(dāng)O′點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MN|是否有變化？并證明你的結(jié)論；

(2)當(dāng)|OA|是|OM|與|ON|的等差中項(xiàng)時(shí)，試判斷拋物線C的準(zhǔn)線與圓O′的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）|MN|不變化，其定值為2p 見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

【解析】(1)設(shè)O′(x0，y0)，則x02＝2py0(y0≥0)，

則⊙O′的半徑|O′A|＝，

⊙O′的方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝x02＋(y0－p)2，

令y＝0，并把x02＝2py0，代入得x2－2x0x＋x02－p2＝0，

解得x1＝x0－p，x2＝x0＋p，所以|MN|＝|x1－x2|＝2p，

這說(shuō)明|MN|不變化，其定值為2p．

(2)不妨設(shè)M(x0－p,0)，N(x0＋p,0)．

由題2|OA|＝|OM|＋|ON|，得2p＝|x0－p|＋|x0＋p|，

所以－p≤x0≤p．

O′到拋物線準(zhǔn)線y＝－的距離d＝y(tǒng)0＋＝，

⊙O′的半徑|O′A|＝

＝＝．

因?yàn)閞＞d?x04＋4p4＞(x02＋p2)2?x02＜p2，

又x02≤p2＜p2(p＞0)，所以r＞d，

即⊙O′與拋物線的準(zhǔn)線總相交．