Question

19．如表提供了工廠技術改造后某種型號設備的使用年限x和所支出的維修費用y（萬元）的幾組對照數(shù)據(jù)：

x（年）	3	4	5	6
y（萬元）	2.5	3	4	4.5

（1）若知道y對x呈線性相關關系，請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=bx+a
（2）已知工廠技改前該型號設備使用10年的維修費用為9萬元．試根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預測該型號設備技改后使用10年的維修費用比技改前降低多少？
參考公式：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=y-$\stackrel{∧}$x．

Answer 1

分析 （1）計算平均數(shù)$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)，寫出回歸方程；
（2）利用回歸方程求出x=10時$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（1）計算$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，
$\sum_{i=1}^4{X_i^2}={3^2}+{4^2}+{5^2}+{6^2}=86$，…（3分）
$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（3+4+5+6）=4.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（2.5+3+4+4.5）=3.5；…（5分）
回歸系數(shù)$\hat b=\frac{66.5-4×4.5×3.5}{{86-4×{{4.5}^2}}}=\frac{66.5-63}{86-81}=0.7$；
  $\hat a=\bar Y-\hat b\overline{X}=3.5-0.7×4.5=0.35$；
故所求的回歸方程為$\hat y=0.7x+0.35$；…（9分）
（2）當x=10時，利用y關于x的線性回歸方程計算$\stackrel{∧}{y}$=0.7×10+0.35=7.35，…（10分）
預測該型號設備技改后使用10年的維修費用比技改前降低9-7.35=1.65（萬元），
答：求出y關于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=0.7x+0.35，
預測該型號設備技改后使用10年的維修費用比技改前降低1.65萬元．…（12分）

點評 本題考查了線性回歸方程的應用問題，是基礎題．