Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），定義：使乘積a₁•a₂•a₃…a_k為正整數(shù)的k（k∈N^*）叫做“期盼數(shù)”，則在區(qū)間[1，2016]內(nèi)所有的“期盼數(shù)”的和為（　　）

• A． 2036
• B． 4076
• C． 4072
• D． 2026

Answer 1

分析 a_n=log_n+1（n+2）=$\frac{lg（n+2）}{lg（n+1）}$，可得乘積a₁•a₂•a₃…a_k=$\frac{lg（k+2）}{lg2}$．當且僅當k+2=2ⁿ（n∈N^*）時，滿足題意．在區(qū)間[1，2016]內(nèi)所有的“期盼數(shù)”為2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2．再利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：∵a_n=log_n+1（n+2）=$\frac{lg（n+2）}{lg（n+1）}$，
則乘積a₁•a₂•a₃…a_k=$\frac{lg3}{lg2}×\frac{lg4}{lg3}×$…×$\frac{lg（k+2）}{lg（k+1）}$=$\frac{lg（k+2）}{lg2}$．
當且僅當k+2=2ⁿ（n∈N^*）時，滿足題意．
∴在區(qū)間[1，2016]內(nèi)所有的“期盼數(shù)”為2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2．
∴在區(qū)間[1，2016]內(nèi)所有的“期盼數(shù)”的和=$\frac{4（{2}^{9}-1）}{2-1}$-2×9=2026．
故選：D．

點評 本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)、等比數(shù)列的通項公式及其求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．