Question

1．向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，若$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{c}$和$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$夾角為120°，則|$\overrightarrow{c}$|的最大值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用向量的數(shù)量積求出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角；利用向量的運算法則作出圖；結(jié)合圖，判斷出四點共圓；利用正弦定理求出外接圓的直徑，求出$|\overrightarrow{c}|$ 的最大值．

解答 解：由|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，
可得 1×1×cos$＜\overrightarrow{a}\;，\;\;\overrightarrow＞$=$\frac{1}{2}$，
∴cos$＜\overrightarrow{a}\;，\;\;\overrightarrow＞$=$\frac{1}{2}$，$＜\overrightarrow{a}\;，\;\;\overrightarrow＞$=60°．
如圖所示：設(shè)$\overrightarrow{OA}\;=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}\;=\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}\;=\overrightarrow{c}$，
則 $\overrightarrow{CA}\;=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{CB}\;=\overrightarrow-\overrightarrow{c}$．
則∠AOB=60°；∠ACB=120°，∴∠AOB+∠ACB=180°，
∴A，O，B，C四點共圓．
∴$\overrightarrow{AB}\;=\overrightarrow-\overrightarrow{a}$，${\overrightarrow{AB}}^{2}$=${\overrightarrow}^{2}$+${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1+1-2×$\frac{1}{2}$=1，∴|$\overrightarrow{AB}$|=1．
由三角形的正弦定理得外接圓的直徑2R=$\frac{AB}{sin∠ACB}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
當(dāng)OC為直徑時，它的模$|\overrightarrow{c}|$最大，最大為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故選C．

點評 本題考查向量的數(shù)量積公式、向量的運算法則、四點共圓的判斷定理、三角形的正弦定理，屬于中檔題．