Question

9．設拋物線y=$\frac{1}{2}$x²的焦點為F，準線為l，過點F作一直線與拋物線交于A，B兩點，再分別過點A，B作拋物線的切線，這兩條切線的交點記為P．
（1）證明：直線PA與PB相互垂直，且點P在準線l上；
（2）是否存在常數(shù)λ，使等式$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=λ$\overrightarrow{FP}$²恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設A（${x}_{1}，\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}$），B（${x}_{2}，\frac{1}{2}{{x}_{2}}^{2}$），利用導數(shù)求出直線PA、PB的斜率，得到PA、PB所在直線方程，聯(lián)立求得P的坐標，再設直線AB的方程為：y=kx+$\frac{1}{2}$，
聯(lián)立AB方程與拋物線方程，利用根與系數(shù)的關系得到x₁x₂=-1，可得k_PA•k_PB=x₁x₂=-1，${y}_{P}=-\frac{1}{2}$，說明P在準線y=-$\frac{1}{2}$上，且PA⊥PB；
（2）存在λ=-1，使等式$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=λ$\overrightarrow{FP}$²恒成立．寫出F、P的坐標，可得$\overrightarrow{FA}、\overrightarrow{FB}、\overrightarrow{FP}$的坐標，利用$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=λ$\overrightarrow{FP}$²即可求得實數(shù)λ的值．

解答 （1）證明：設A（${x}_{1}，\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}$），B（${x}_{2}，\frac{1}{2}{{x}_{2}}^{2}$），
由y=$\frac{1}{2}$x²，得y′=x，
∴k_PA=x₁，k_PB=x₂，
則直線PA：$y-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}={x}_{1}（x-{x}_{1}）$，PB：$y-\frac{1}{2}{{x}_{2}}^{2}={x}_{2}（x-{x}_{2}）$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}_{1}x-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}}\\{y={x}_{2}x-\frac{1}{2}{{x}_{2}}^{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{P}=\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）}\\{{y}_{P}=\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2}}\end{array}\right.$．
設直線AB的方程為：y=kx+$\frac{1}{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}}\end{array}\right.$，得$\frac{1}{2}{x}^{2}-kx-\frac{1}{2}=0$．
∴x₁x₂=-1，則k_PA•k_PB=x₁x₂=-1，
∴${y}_{P}=-\frac{1}{2}$，則P在準線y=-$\frac{1}{2}$上，且PA⊥PB；
（2）解：存在λ=-1，使等式$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=λ$\overrightarrow{FP}$²恒成立．
∵F（0，$\frac{1}{2}$），P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}，-\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{FA}=（{x}_{1}，\frac{1}{2}（{{x}_{1}}^{2}-1））$，$\overrightarrow{FB}=（{x}_{2}，\frac{1}{2}（{{x}_{2}}^{2}-1））$，
$λ{\overrightarrow{FP}}^{2}$=$λ（（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）^{2}+1）$=$λ（\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{1}{2}）$．
$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}={x}_{1}{x}_{2}+\frac{1}{4}（{{x}_{1}}^{2}-1）（{{x}_{2}}^{2}-1）$=$-1+\frac{1}{4}{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}-\frac{1}{4}（{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}）+\frac{1}{4}$=$-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}（{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}）$．
若$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=λ$\overrightarrow{FP}$²，
則$λ（\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{1}{2}）$=$-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}（{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}）$，解得λ=-1．

點評 本題考查拋物線的簡單性質，考查直線與拋物線的位置關系的應用，考查計算能力，是中檔題．