Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)是F，上頂點(diǎn)是A，點(diǎn)M滿足

AM

=

1

2

(

AO

+

AF

)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且sin∠MAF=

1

3

，則橢圓C的離心率為（　　）

• A、

  6

  3

• B、

  3

  3

• C、

  6

  6

• D、

  6

  3

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先根據(jù)

AM

=

1

2

(

AO

+

AF

)確定M為OF的中點(diǎn)，進(jìn)一步求得AM的長(zhǎng)，sin∠AFM=

b

a

，再利用正弦定理，求得a和c的關(guān)系，最后求得e=

6

3

．

解答： 解：根據(jù)條件：

AM

=

1

2

(

AO

+

AF

)則：M為OF的中點(diǎn)
則：AM=

b2+ c2 4

  sin∠AFM=

b

a

在△AMF中，利用正弦定理：

AM

sin∠AFM

=

MF

sin∠MAF

則：

c 2

1 3

=

b2+ c2 4

b a

由于b²=a²-c²
進(jìn)一步求得：4a⁴-12a²c²+9c⁴=0
即：2a²-3c²=0
進(jìn)一步求得：e=

6

3

故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的運(yùn)算，橢圓中a、b、c的關(guān)系，正弦定理的應(yīng)用，離心率的公式及相關(guān)的運(yùn)算問題．