Question

1．已知雙曲線$Γ：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)A為雙曲線Γ的左頂點(diǎn)，點(diǎn)M（x₁，y₁）（x₁＞0，y₁＞0）為雙曲線Γ漸近線上的一點(diǎn)，且$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow 0，\overrightarrow{OM}，\overrightarrow{ON}$均為焦距的一半，若$∠MAN=\frac{2π}{3}$，則雙曲線Γ的漸近線為（　�。�

• A． $y=±\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x$
• B． $y=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}x$
• C． $y=±\frac{{\sqrt{5}}}{2}x$
• D． $y=±\frac{{2\sqrt{5}}}{5}x$

Answer 1

分析 求出M，N的坐標(biāo)，利用余弦定理建立方程，即可求出雙曲線Γ的漸近線．

解答 解：由題意，A（-a，0），直線MN的方程為y=$\frac{a}$x，N（-x₁，-y₁），
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，∴M（a，b），N（-a，-b），
∵$∠MAN=\frac{2π}{3}$，
∴由余弦定理可得4c²=（a+a）²+b²+b²-2$\sqrt{（a+a）^{2}+^{2}}•b•cos\frac{2π}{3}$，
化簡(jiǎn)可得3b²=4a²，
∴$\frac{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴雙曲線Γ的漸近線為y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線Γ的漸近線，考查余弦定理的運(yùn)用，正確運(yùn)用余弦定理是關(guān)鍵．