Question

13．已知拋物線(xiàn)x²=8y與雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線(xiàn)交于點(diǎn)A，若點(diǎn)A到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為4，則雙曲線(xiàn)的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程，代入拋物線(xiàn)方程，求得交點(diǎn)A的坐標(biāo)，求出拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，計(jì)算結(jié)合離心率公式即可得到所求值．

解答 解：雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線(xiàn)方程設(shè)為y=$\frac{a}$x，
代入拋物線(xiàn)x²=8y，可得x=$\frac{8b}{a}$，y=$\frac{8^{2}}{{a}^{2}}$，
拋物線(xiàn)x²=8y的準(zhǔn)線(xiàn)為y=-2，
由題意可得$\frac{8^{2}}{{a}^{2}}$+2=4，
即有a=2b，c=$\sqrt{5}$b，
即有離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的離心率的求法，注意運(yùn)用漸近線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．