Question

18．已知函數(shù)f（x）=3xe^x+2（e為自然對數(shù)的底）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）先求出f′（x）=3e^x（x+1），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-1）．由此能求出函數(shù)f（x）的極值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=3xe^x+2（e為自然對數(shù)的底），
∴f′（x）=3e^x（x+1）
令f′（x）＞0，得x＞-1，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，+∞），
令f′（x）＜0，得x＜-1，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-1）．
（2）∵函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，+∞），
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-1）．
∴函數(shù)f（x）無極大值，
極小值是f（-1）=3×（-1）×e^-1+2=2-$\frac{3}{e}$．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查函數(shù)的極小值的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．