Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）-cos²x+$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，f（A）=$\frac{1}{4}$，a=3，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函數(shù)f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理為一個角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性確定出f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間即可；
（Ⅱ）由f（A）的值，確定出A的度數(shù)，利用余弦定理求出bc的最大值，進而求出三角形ABC面積的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∵x∈[0，π]，
∴函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，$\frac{π}{6}$]，[$\frac{2π}{3}$，π]；
（Ⅱ）由f（A）=$\frac{1}{2}$sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$得：sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理知a²=9=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
∴bc≤9（當且僅當b=c時等號成立），
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×9×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴△ABC面積的最大值為$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$．

點評 此題考查了余弦定理，三角形面積公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．