Question

【題目】已知?jiǎng)訄AQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且與定直線(xiàn)相切（其中a為常數(shù)，且）.記動(dòng)圓圓心Q的軌跡為曲線(xiàn)C.

（1）求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線(xiàn)？

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)P作曲線(xiàn)C的切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，若過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)m與曲線(xiàn)C交于M，N兩點(diǎn)，則是否存在直線(xiàn)m，使得？若存在，求出直線(xiàn)m斜率的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1），拋物線(xiàn)；（2）存在，.

【解析】

（1）設(shè)，易得，化簡(jiǎn)即得；

（2）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可得，要使，只需.

聯(lián)立直線(xiàn)m與拋物線(xiàn)方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可解決.

（1）設(shè)，由題意，得，化簡(jiǎn)得，

所以動(dòng)圓圓心Q的軌跡方程為，

它是以F為焦點(diǎn)，以直線(xiàn)l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn).

（2）不妨設(shè).

因?yàn)?/span>，所以，

從而直線(xiàn)PA的斜率為，解得，即，

又，所以軸.

要使，只需.

設(shè)直線(xiàn)m的方程為，代入并整理，

得.

首先，，解得或.

其次，設(shè)，，

則，.

.

故存在直線(xiàn)m，使得，

此時(shí)直線(xiàn)m的斜率的取值范圍為.