Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=0，且$\frac{{a}_{1}}{1}+\frac{{a}_{2}}{2}+…+\frac{{a}_{n-1}}{n-1}{=a}_{n}-2$（n≥2）．則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{n，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由已知條件推導(dǎo)出a₂=2，a₃=3，$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$，（n≥2），由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：數(shù)列{a_n}滿足a₁=0，且$\frac{{a}_{1}}{1}+\frac{{a}_{2}}{2}+…+\frac{{a}_{n-1}}{n-1}{=a}_{n}-2$（n≥2），①
當(dāng)n=2時(shí)，$\frac{0}{1}+\frac{0}{1}={a}_{2}-2$，解得a₂=2，
當(dāng)n=3時(shí)，$\frac{0}{1}+\frac{0}{1}+\frac{2}{2}={a}_{3}-2$，解得a₃=3，
∴$\frac{{a}_{1}}{1}+\frac{{a}_{2}}{2}+…+\frac{{a}_{n-2}}{n-2}{=a}_{n-1}-2$（n≥3），②
①-②，得：$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=a_n-a_n-1，（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$，（n≥2），
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{n，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案為：${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{n，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．