Question

3．給出下列四個(gè)命題：
①在△ABC中，若C＞$\frac{π}{2}$，則sinA＜cosB；
②已知點(diǎn)A（0，3），則函數(shù)y=$\sqrt{3}$cosx-sinx的圖象上存在一點(diǎn)P，使得|PA|=1；
③函數(shù)y=cos²x+2bcosx+c是周期函數(shù)，且周期與b有關(guān)，與c無(wú)關(guān)；
④設(shè)方程x+sinx=$\frac{π}{2}$的解是x₁，方程x+arcsinx=$\frac{π}{2}$的解是x₂，則x₁+x₂=π．
其中真命題的序號(hào)是①③．（把你認(rèn)為是真命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 ①利用三角形的內(nèi)角和定理以及正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷；
②根據(jù)余弦函數(shù)的有界性解答；
③利用周期函數(shù)的定義，結(jié)合余弦函數(shù)的周期性判斷；
④根據(jù)互為反函數(shù)圖象的對(duì)稱性解答．

解答 解：①在△ABC中，若C＞$\frac{π}{2}$，則A+B＜$\frac{π}{2}$，即A＜$\frac{π}{2}$-B$＜\frac{π}{2}$，所以sinA＜sin（$\frac{π}{2}$-B，）sinA＜cosB；故①正確；
②已知點(diǎn)A（0，3），則函數(shù)y=$\sqrt{3}$cosx-sinx=2cos（x+$\frac{π}{6}$）∈[-2，2]，所以它的圖象上不存在一點(diǎn)P，使得|PA|=1；故②錯(cuò)誤；
③函數(shù)y=cos²x+2bcosx+c是周期函數(shù)，且周期與b有關(guān)，與c無(wú)關(guān)；正確
④設(shè)方程x+sinx=$\frac{π}{2}$的解是x₁，方程x+arcsinx=$\frac{π}{2}$的解是x₂，設(shè)arcsinx₂=t，則sint=x₂，則x+arcsinx=$\frac{π}{2}$變形為sint+t=$\frac{π}{2}$，
觀察得到x₁+sinx₁=$\frac{π}{2}$，t+sint=$\frac{π}{2}$則t，x₁是方程x+sinx=$\frac{π}{2}$的兩根，
又因?yàn)�，sint=x₂，故x₁，x₂是方程的兩根，故x₁+x₂=$\frac{π}{2}$．故④錯(cuò)誤；
故答案為：①③

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的周期，互為反函數(shù)圖象的關(guān)系，方程的根，是綜合題目，考查基本知識(shí)掌握的情況．