Question

12．在三棱錐P-ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，AC=BC=2PA=2PB=4，E、F分別是AC、BC的中點．
（1）判斷直線AB與平面PEF的位置關系，并說明理由；
（2）求二面角E-PF-C的余弦值；
（3）在線段BC上是否存在一點Q，使AQ⊥PE？證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）由E、F分別是AC、BC中點，得EF∥AB，即AB∥平面PEF．
（2）過M作MN⊥PF于點N，連結EN，則∠MNE是二面角E-PF-C的平面角．
在Rt△EMN中，EM=1，MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得cos$∠MNE=\frac{\sqrt{21}}{7}$
即求得二面角E-DF-C的余弦值．
（3）在線段BC上存在點Q，使AQ⊥PE．
在線段BC上取點Q．使BQ=$\frac{1}{3}BC$，過Q作QR⊥PC于點R
則QR⊥平面PAC，可得PR=$\frac{1}{3}PC=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，在Rt△PAR中，∠PAR=30°，即可得出結論．

解答 （1）解：如圖：在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點，得EF∥AB（2分）
又AB?平面PEF，EF?平面PEF
∴AB∥平面PEF．（4分）
（2）解：∵AP⊥CP，AP⊥BP，CP、AP在平面PBC內
∴AP⊥平面PBC
取PC的中點M，連結EM，則EM∥PA
∴EM⊥平面PBC，故EM⊥PF
過M作MN⊥PF于點N，連結EN
則PF⊥平面EMN，∴則EN⊥PF
因此∠MNE是二面角E-PF-C的平面角．
在Rt△PBC中，∵PB=2，BC=4，∴PC=2$\sqrt{3}$，
∵F為BC中點，∴PB=PF=BF=2，∠FPC=30°
可得MN=PM×sin30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
在Rt△EMN中，EM=1，MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴EN=$\frac{\sqrt{7}}{2}$
故cos$∠MNE=\frac{\sqrt{21}}{7}$
即二面角E-DF-C的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$（8分）



（3）解：在線段BC上存在點Q，使AQ⊥PE
證明如下：在線段BC上取點Q．使BQ=$\frac{1}{3}BC$，過Q作QR⊥PC于點R
則QR⊥平面PAC
∵PR=$\frac{1}{3}PC=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，在Rt△PAR中，∠PAR=30°，
又PA=PE=AE=2，∴∠APE=60°
∴AR⊥PE
∴PE⊥平面AQR，因此AQ⊥PE（12分）

點評 本題考查了線面平行、線線平行的判定，考查了二面角的求法，屬于中檔題．