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2.在數(shù)列{an}中,a1=1,(n+3)an+1=2nan(n∈N+),記bn=n(n+1)(n+2)an
(1)求證:{bn}為等比數(shù)列;
(2)設(shè)cn=an32n,且數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:Sn14

分析 (1)由已知(n+3)an+1=2nan,得an+1an=2nn+3,再由bn=n(n+1)(n+2)an,得bn+1=(n+1)(n+2)(n+3)an+1,作比后可得{bn}為公比是2的等比數(shù)列;
(2)求出等比數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,代入bn=n(n+1)(n+2)an求得an.進(jìn)一步代入cn=an32n,然后利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn,放縮得答案.

解答 證明:(1)由(n+3)an+1=2nan,得an+1an=2nn+3,
又bn=n(n+1)(n+2)an,
∴bn+1=(n+1)(n+2)(n+3)an+1
n+1n=n+1n+2n+3an+1nn+1n+2an=n+3n2nn+3=2,
∴{bn}為公比是2的等比數(shù)列;
(2)∵{bn}為公比是2的等比數(shù)列,且b1=6a1=6,
n=nn+1n+2an=62n1=32n,
an=32nnn+1n+2
∴cn=an32n=1nn+1n+2=12[1nn+11n+1n+2],
Sn=12[11×212×3+12×313×4++1nn+11n+1n+2]=1412n+1n+214

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式,考查了等比關(guān)系的確定,訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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