分析 (1)由已知(n+3)an+1=2nan,得an+1an=2nn+3,再由bn=n(n+1)(n+2)an,得bn+1=(n+1)(n+2)(n+3)an+1,作比后可得{bn}為公比是2的等比數(shù)列;
(2)求出等比數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,代入bn=n(n+1)(n+2)an求得an.進(jìn)一步代入cn=an3•2n,然后利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn,放縮得答案.
解答 證明:(1)由(n+3)an+1=2nan,得an+1an=2nn+3,
又bn=n(n+1)(n+2)an,
∴bn+1=(n+1)(n+2)(n+3)an+1,
則n+1n=(n+1)(n+2)(n+3)an+1n(n+1)(n+2)an=n+3n•2nn+3=2,
∴{bn}為公比是2的等比數(shù)列;
(2)∵{bn}為公比是2的等比數(shù)列,且b1=6a1=6,
∴n=n(n+1)(n+2)an=6•2n−1=3•2n,
則an=3•2nn(n+1)(n+2),
∴cn=an3•2n=1n(n+1)(n+2)=12[1n(n+1)−1(n+1)(n+2)],
則Sn=12[11×2−12×3+12×3−13×4+…+1n(n+1)−1(n+1)(n+2)]=14−12(n+1)(n+2)<14.
點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式,考查了等比關(guān)系的確定,訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,是中檔題.
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A. | 34+a | B. | 34-a | C. | a2+1 | D. | a2+34 |
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A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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