分析 (I)f′(x)=x2-x+a,由x=2是f(x)的極值點,可得f′(2)=0,解得a=-2.代入f′(x)進(jìn)而得出單調(diào)性.
(II)$g(x)=f(x)-\frac{1}{2}a{x^2}+\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-$\frac{1}{2}(1+a){x}^{2}$+ax+$\frac{2}{3}$,g′(x)=x2-(1+a)x+a=(x-1)(x-a).對a與1的大小關(guān)系分類討論
可得a的取值范圍.
(III)不能,原因如下:設(shè)f(x)有兩個極值點x1,x2,則f′(x)=x2-x+a有兩個不同的零點.△>0,解得a<$\frac{1}{4}$,且x1,x2,為方程x2-x+a=0的兩根.則${x}_{1}^{2}$-x1+a=0,可得${x}_{1}^{2}$=x1-a,可得f(x1)=$(\frac{2}{3}a-\frac{1}{6})$x1+$\frac{1}{6}$a,同理可得:f(x2)=$(\frac{2}{3}a-\frac{1}{6})$x2+$\frac{1}{6}$a.由此可得:過兩點(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線方程為:y=$(\frac{2}{3}a-\frac{1}{6})$x+$\frac{1}{6}$a.進(jìn)而判斷出結(jié)論.
解答 解:(I)$f(x)=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+ax$,a∈R.f′(x)=x2-x+a,
∵x=2是f(x)的極值點,∴f′(2)=4-2+a=0,解得a=-2.
代入f′(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2),令f′(x)=0,解得x=-1,或x=2.
令f′(x)>0,解得x>2或x<-1,
∴f(x)在x∈(-∞,-1),(2,+∞)時單調(diào)遞增;令f′(x)<0,解得-1<x<2,
∴f(x)在x∈(-1,2)時單調(diào)遞減.
(II)$g(x)=f(x)-\frac{1}{2}a{x^2}+\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-$\frac{1}{2}(1+a){x}^{2}$+ax+$\frac{2}{3}$,g′(x)=x2-(1+a)x+a=(x-1)(x-a).
①當(dāng)a≥1時,x∈(0,1)時,
g′(x)>0恒成立,g(x)單調(diào)遞增,又g(0)=$\frac{2}{3}$>0,
因此此時函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)沒有零點.
②當(dāng)0<a<1時,x∈(0,a)時,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,
x∈(a,1)時,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
又g(0)=$\frac{2}{3}$>0,因此要使函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點.
必有g(shù)(1)<0,∴$\frac{1}{3}-\frac{1}{2}$(1+a)+a+$\frac{2}{3}$<0,
解得a<-1.舍去.
③當(dāng)a≤0時,x∈(0,1)時,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
又g(0)=$\frac{2}{3}$>0,因此要使函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點.
必有g(shù)(1)<0,解得a<-1.滿足條件.
綜上可得:a的取值范圍是(-∞,-1).
(III)不能,原因如下:設(shè)f(x)有兩個極值點x1,x2,
則f′(x)=x2-x+a有兩個不同的零點.∴△=1-4a>0,解得a<$\frac{1}{4}$,
且x1,x2,為方程x2-x+a=0的兩根.則${x}_{1}^{2}$-x1+a=0,可得${x}_{1}^{2}$=x1-a,
∴f(x1)=$\frac{1}{3}{x}_{1}^{3}$-$\frac{1}{2}{x}_{1}^{2}$+ax1=$\frac{1}{3}{x}_{1}({x}_{1}-a)$-$\frac{1}{2}{x}_{1}^{2}$+ax1=$-\frac{1}{6}$${x}_{1}^{2}$+$\frac{2}{3}a{x}_{1}$=-$\frac{1}{6}$(x1-a)+$\frac{2}{3}a{x}_{1}$=$(\frac{2}{3}a-\frac{1}{6})$x1+$\frac{1}{6}$a,
同理可得:f(x2)=$(\frac{2}{3}a-\frac{1}{6})$x2+$\frac{1}{6}$a.
由此可得:過兩點(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線方程為:y=$(\frac{2}{3}a-\frac{1}{6})$x+$\frac{1}{6}$a.
若上述直線過點(1,1),則:1=$(\frac{2}{3}a-\frac{1}{6})$+$\frac{1}{6}$a.解得a=$\frac{7}{5}$.
上述已知得出:若f(x)有兩個極值點x1,x2,則a<$\frac{1}{4}$,而a=$\frac{7}{5}$$>\frac{1}{4}$,不合題意,舍去.
因此過兩點(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線不能過點(1,1).
點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法、等價轉(zhuǎn)化方法,考查了推理能力與計算能力、分類討論方法,屬于難題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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碼元0 | ||
碼元1 |
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A | 4 | 4 | 4.5 | 5 | 5.5 | 6 | 6 | |||
B | 4.5 | 5 | 6 | 6.5 | 6.5 | 7 | 7 | 7.5 | ||
C | 5 | 5 | 5.5 | 6 | 6 | 7 | 7 | 7.5 | 8 | 8 |
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