Question

12．如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折起，得到如圖2所示的四棱錐D₁-ABCE，其中平面D₁AE⊥平面ABCE．
（Ⅰ）證明：BE⊥平面D₁AE；
（Ⅱ）求三棱錐C-BD₁E的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）過D₁作D₁F⊥AE交AE于F，由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得D₁F⊥平面ABCE，進(jìn)一步得到BE⊥D₁F，在△ABE中，$AB=4，AE=BE=2\sqrt{2}$，滿足AB²=AE²+BE² ，可得BE⊥AE，再由線面垂直的判定可得BE⊥平面D₁AE；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得${D_1}F=\sqrt{2}$，且為三棱錐D₁-BCE的高，然后利用等積法求得三棱錐C-BD₁E的體積．

解答 （Ⅰ）證明：過D₁作D₁F⊥AE交AE于F，
∵平面D₁AE⊥平面ABCE，且平面D₁AE∩平面ABCE=AE，∴D₁F⊥平面ABCE，
∵BE?平面ABCE，∴BE⊥D₁F，
在△ABE中，$AB=4，AE=BE=2\sqrt{2}$，滿足AB²=AE²+BE² ，
∴BE⊥AE，又∵AE∩D₁F=F，
∴BE⊥平面D₁AE；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得${D_1}F=\sqrt{2}$，且為三棱錐D₁-BCE的高，
由此可得${V_{C-B{D_1}E}}={V_{{D_1}-BCE}}=\frac{1}{3}{S_{△BCE}}•{D_1}F=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BC×CE×{D_1}F=\frac{1}{6}×2×2×\sqrt{2}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．