Question

1．已知函數(shù)f（x）=m-|x-2|，m∈R，
且f（x+2）≥0的解集為[-3，3]．
（1）求m的值；
（2）若p，q，r為正實(shí)數(shù)，且p+q+r=m，求證：p²+q²+r²≥3．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x+2）的解析式得出f（x+2）的單調(diào)性和奇偶性，根據(jù)解集得出f（5）=0，故而可求出m；
（2）利用柯西不等式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）f（x+2）=m-|x|=$\left\{\begin{array}{l}{m+x，x≤0}\\{m-x，x＞0}\end{array}\right.$，
∴f（x+2）在（-∞，0]上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
又f（x+2）是偶函數(shù)，f（x+2）≥0的解集是[-3，3]，
∴m-3=0，即m=3．
（2）證明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r為正實(shí)數(shù)，
∴由柯西不等式得，（p²+q²+r²）（1²+1²+1²）≥（p×1+q×1+r×1）²=（p+q+r）²=3²=9，
∴p²+q²+r²≥3．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與不等式的解法，柯西不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．