Question

12．三棱錐P-ABC中，PA=2，BC=3，PA⊥BC，如圖所示，作與PA、BC都平行的截面，分別交棱PB、BC、AC、AB于點E、F、G、H，則截面EFGH的最大面積為（　�。�

• A． 3
• B． 6
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由已知利用線面平行的性質(zhì)可求四邊形EFGH是平行四邊形，又PA⊥BC，可求EFGH為矩形，設$\frac{PE}{PB}$=x，利用平行線分線段成比例定理可求EF=3x，EH=2（1-x），利用基本不等式及求得截面EFGH的最大面積．

解答 解：∵BC∥平面EFGH，
∴BC∥EF，BC∥GH，
∴EF∥GH，
同理，EH∥FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
又∵PA⊥BC，
∴EF⊥FG，
∴平行四邊形EFGH為矩形，
設$\frac{PE}{PB}$=x，則$\frac{EF}{BC}=\frac{EF}{3}=x$，
∴EF=3x，
又$\frac{EH}{PA}=\frac{BE}{BP}=1-x$，即$\frac{EH}{2}=1-x$，
∴EH=2（1-x），
∴截面EFGH的面積為S=EF×EH=6x（1-x）≤6×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{2}$（當且僅當x=1-x，即x=$\frac{1}{2}$時取等號）．
故選：C．

點評 本題主要考查了線面平行的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，基本不等式的綜合應用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．