Question

1．若函數(shù)y=log_a（x-1）+1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，則過點A且到原點的距離等于2的直線方程為x-2=0或3x+4y-10=0．

Answer 1

分析 由log_a1=0得x-1=1，求出x的值以及y的值，即求出定點A的坐標．當直線的斜率k不存在時，直線方程x=2，它到原點的距離是2，成立；當直線的斜率k存在時，設直線方程為y-1=k（x-2），整理，得kx-y-2k+1=0，由直線與原點的距離為2，解得k，由此能得到所求的直線方程．

解答 解：∵log_a1=0，
∴當x-1=1，即x=2時，y=1，
則函數(shù)y=log_a（x-1）+1的圖象恒過定點 A（2，1）．
∴①當直線的斜率k不存在時，直線方程x=2，它到原點的距離是2，成立；
②當直線的斜率k存在時，設直線方程為y-1=k（x-2），整理，得kx-y-2k+1=0，
∵直線與原點的距離為2，
∴$\frac{|-2k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=-$\frac{3}{4}$，
∴直線為3x+4y-10=0．
故所求的直線方程為：x=2或3x+4y-10=0．
故答案為：x=2或3x+4y-10=0．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的性質和特殊點，主要利用log_a1=0，屬于基礎題．解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的應用．易錯點是容易忽視直線的斜率不存在的情況．