Question

11．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a，b，c，若λsinA=sinB+sinC（λ∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)λ=3，且b=c時(shí)，求cosA的值；
（Ⅱ）當(dāng)A=60°時(shí)，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)λ=3時(shí)，根據(jù)正弦定理，可得3a=b+c，根據(jù)余弦定理及b=c，可得cosA的值．
（Ⅱ）當(dāng)A=60°時(shí)，由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可求λ=2sin（B+30°），由范圍B∈（0°，120°），由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求λ的范圍．

解答 （本題滿分為13分）
解：（Ⅰ）當(dāng)λ=3時(shí)，根據(jù)正弦定理，由3sinA=sinB+sinC，可得：3a=b+c，…2分
根據(jù)余弦定理cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{^{2}+{c}^{2}-（\frac{b+c}{3}）^{2}}{2bc}$，…4分
由b=c，可得cosA=$\frac{7}{9}$．…6分
（Ⅱ）當(dāng)A=60°時(shí)，$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ=sinB+sinC=sinB+sin（120°-B）=sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB=$\sqrt{3}$sin（B+30°），…9分
∴λ=2sin（B+30°）…10分
∵B∈（0°，120°），可得：B+30°∈（30°，150°），…11分
∴sin（B+30°）∈（$\frac{1}{2}$，1]，…12分
∴λ∈（1，2]…13分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．