分析 (1)由題意可知:當(dāng)n=1時(shí),a1=1.當(dāng)n≥2時(shí),a1+2a2+…+nan=4-n+22n−1,a1+2a2+…+(n-1)an-1=4-n+12n−2,兩式相減即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)由bn=(3n-2)12n−1,采用“錯(cuò)位相減法”即可求得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
解答 解:(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=4-320=1.
當(dāng)n≥2時(shí),a1+2a2+…+nan=4-n+22n−1…①
a1+2a2+…+(n-1)an-1=4-n+12n−2…②
①-②得:nan=n+12n−2-n+22n−1=12n−1(2n+2-n-2)=n2n−1
∴an=12n−1,
當(dāng)n=1時(shí),a1也適合上式,
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=12n−1 (n∈N*).
(2)bn=(3n-2)12n−1,
Sn=120+421+722+…+(3n-5)12n−2+(3n-2)12n−1,…①
12Sn=121+422+723+…+(3n-5)12n−1+(3n-2)12n,…②
①-②得:12Sn=1+3(121+122+123+…+12n−1 )-(3n-2)12n
=1+3•12−12n1−12-(3n-2)12n=4-3n+42n,
∴Sn=8-3n+42n−1.
∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn,Sn=8-3n+42n−1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推公式,等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式,“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.
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